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In particular, it\n", │ │ │ │ │ │ "illustrates how to\n", │ │ │ │ │ │ @@ -68,84 +68,84 @@ │ │ │ │ │ │ "\n", │ │ │ │ │ │ "The modules that will be used are imported:" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "946a5ab1", │ │ │ │ │ │ + "id": "2d3e8919", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "from mpi4py import MPI" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "d91b1365", │ │ │ │ │ │ + "id": "8b5daf2f", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "import numpy as np" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "fce7f169", │ │ │ │ │ │ + "id": "3b271609", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "import dolfinx\n", │ │ │ │ │ │ "import ufl\n", │ │ │ │ │ │ "from dolfinx import fem, la\n", │ │ │ │ │ │ "from ufl import action, dx, grad, inner" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "markdown", │ │ │ │ │ │ - "id": "c53d5680", │ │ │ │ │ │ + "id": "86764449", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "We begin by using {py:func}`create_rectangle\n", │ │ │ │ │ │ "` to create a rectangular\n", │ │ │ │ │ │ "{py:class}`Mesh ` of the domain, and creating a\n", │ │ │ │ │ │ "finite element {py:class}`FunctionSpace `\n", │ │ │ │ │ │ "on the mesh." │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "4124771d", │ │ │ │ │ │ + "id": "c914f48e", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "dtype = dolfinx.default_scalar_type\n", │ │ │ │ │ │ "real_type = np.real(dtype(0.0)).dtype\n", │ │ │ │ │ │ "comm = MPI.COMM_WORLD\n", │ │ │ │ │ │ "mesh = dolfinx.mesh.create_rectangle(comm, [[0.0, 0.0], [1.0, 1.0]], [10, 10], dtype=real_type)" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "cb1e9ce4", │ │ │ │ │ │ + "id": "ee4c8b23", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "# Create function space\n", │ │ │ │ │ │ "degree = 2\n", │ │ │ │ │ │ "V = fem.functionspace(mesh, (\"Lagrange\", degree))" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "markdown", │ │ │ │ │ │ - "id": "f8e0c07b", │ │ │ │ │ │ + "id": "19464862", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "The second argument to {py:class}`functionspace\n", │ │ │ │ │ │ "` is a tuple consisting of `(family,\n", │ │ │ │ │ │ "degree)`, where `family` is the finite element family, and `degree`\n", │ │ │ │ │ │ "specifies the polynomial degree. In this case `V` consists of\n", │ │ │ │ │ │ "third-order, continuous Lagrange finite element functions.\n", │ │ │ │ │ │ @@ -156,94 +156,94 @@ │ │ │ │ │ │ "and then retrieving all facets on the boundary using\n", │ │ │ │ │ │ "{py:func}`exterior_facet_indices `." │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "1f633cb1", │ │ │ │ │ │ + "id": "a3d2f7a6", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "tdim = mesh.topology.dim\n", │ │ │ │ │ │ "mesh.topology.create_connectivity(tdim - 1, tdim)\n", │ │ │ │ │ │ "facets = dolfinx.mesh.exterior_facet_indices(mesh.topology)" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "markdown", │ │ │ │ │ │ - "id": "4824fd1b", │ │ │ │ │ │ + "id": "003c7bed", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "We now find the degrees of freedom that are associated with the boundary\n", │ │ │ │ │ │ "facets using\n", │ │ │ │ │ │ "{py:func}`locate_dofs_topological `" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "a7cb0ad6", │ │ │ │ │ │ + "id": "4f5f3f15", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "dofs = fem.locate_dofs_topological(V=V, entity_dim=tdim - 1, entities=facets)" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "markdown", │ │ │ │ │ │ - "id": "6cf307b6", │ │ │ │ │ │ + "id": "bedf2acf", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "and use {py:func}`dirichletbc ` to define the\n", │ │ │ │ │ │ "essential boundary condition. On the boundary we prescribe the\n", │ │ │ │ │ │ "{py:class}`Function ` `uD`, which we create by\n", │ │ │ │ │ │ "interpolating the expression $u_{\\rm D}$ in the finite element space\n", │ │ │ │ │ │ "$V$." │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "203267b9", │ │ │ │ │ │ + "id": "3ab66119", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "uD = fem.Function(V, dtype=dtype)\n", │ │ │ │ │ │ "uD.interpolate(lambda x: 1 + x[0] ** 2 + 2 * x[1] ** 2)\n", │ │ │ │ │ │ "bc = fem.dirichletbc(value=uD, dofs=dofs)" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "markdown", │ │ │ │ │ │ - "id": "2a8222a0", │ │ │ │ │ │ + "id": "fdae3bd6", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "Next, we express the variational problem using UFL." │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "7ba0eea9", │ │ │ │ │ │ + "id": "ded3f056", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "x = ufl.SpatialCoordinate(mesh)\n", │ │ │ │ │ │ "u = ufl.TrialFunction(V)\n", │ │ │ │ │ │ "v = ufl.TestFunction(V)\n", │ │ │ │ │ │ "f = fem.Constant(mesh, dtype(-6.0))\n", │ │ │ │ │ │ "a = inner(grad(u), grad(v)) * dx\n", │ │ │ │ │ │ "L = inner(f, v) * dx\n", │ │ │ │ │ │ "L_fem = fem.form(L, dtype=dtype)" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "markdown", │ │ │ │ │ │ - "id": "8bc2c61e", │ │ │ │ │ │ + "id": "3eb40b6b", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "For the matrix-free solvers we also define a second linear form `M` as\n", │ │ │ │ │ │ "the {py:class}`action ` of the bilinear form $a$ on an\n", │ │ │ │ │ │ "arbitrary {py:class}`Function ` `ui`. This linear\n", │ │ │ │ │ │ "form is defined as\n", │ │ │ │ │ │ "\n", │ │ │ │ │ │ @@ -251,78 +251,78 @@ │ │ │ │ │ │ "M(v) = a(u_i, v) \\quad \\text{for} \\; \\ u_i \\in V.\n", │ │ │ │ │ │ "$$" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "00492243", │ │ │ │ │ │ + "id": "3bd1b7bd", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "ui = fem.Function(V, dtype=dtype)\n", │ │ │ │ │ │ "M = action(a, ui)\n", │ │ │ │ │ │ "M_fem = fem.form(M, dtype=dtype)" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "markdown", │ │ │ │ │ │ - "id": "19785910", │ │ │ │ │ │ + "id": "a47d655c", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "### Matrix-free conjugate gradient solver\n", │ │ │ │ │ │ "\n", │ │ │ │ │ │ "The right hand side vector $b - A x_{\\rm bc}$ is the assembly of the linear\n", │ │ │ │ │ │ "form $L$ where the essential Dirichlet boundary conditions are implemented\n", │ │ │ │ │ │ "using lifting. Since we want to avoid assembling the matrix `A`, we compute\n", │ │ │ │ │ │ "the necessary matrix-vector product using the linear form `M` explicitly." │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "f3f244e8", │ │ │ │ │ │ + "id": "dae30da8", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "# Apply lifting: b <- b - A * x_bc\n", │ │ │ │ │ │ "b = fem.assemble_vector(L_fem)\n", │ │ │ │ │ │ "ui.x.array[:] = 0.0\n", │ │ │ │ │ │ "fem.set_bc(ui.x.array, [bc], scale=-1.0)\n", │ │ │ │ │ │ "fem.assemble_vector(b.array, M_fem)\n", │ │ │ │ │ │ "b.scatter_reverse(la.InsertMode.add)" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "17045df6", │ │ │ │ │ │ + "id": "d2600463", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "# Set BC dofs to zero on right hand side\n", │ │ │ │ │ │ "fem.set_bc(b.array, [bc], scale=0.0)\n", │ │ │ │ │ │ "b.scatter_forward()" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "markdown", │ │ │ │ │ │ - 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